Title: Terminale / Maths / Chapitre 10 logarithme népérien

Pour tout réel a > 0, l'équation e^x = a admet une unique solution dans ℝ.
Cette solution se note x = ln(a) et s'appelle le logarithme népérien de a.

La fonction qui, à tout réel a > 0, associe le réel ln(a) est appelée la fonction logarithme népérien.
C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Elle est définie sur ]0 ; +∞[ et est notée ln.

Q: Dans un repère orthonormé, 𝒞_[...] et 𝒞_[...] sont symétriques par rapport à la droite d'équation [...].
A: exp; ln; y = x

Q: ln(x) est [...] ≡ x [...]
A: défini; > 0

Q: ∀x[...], e^ln(x) = [...]
A: >0; x

Q: ∀x[...], ln(e^x) = [...]
A: ∈ℝ; x

Q: log(x) =
[...]
[...]
A: ln(x); ln(10)

Q: ∀x>0, ∀y>0, ln(xy) = [...]
A: ln(x) + ln(y)

Q: ∀x>0, ln(1/x) = [...]
A: -ln(x)

Q: ∀x>0, ∀y>0, ln(x/y) = [...]
A: ln(x) - ln(y)

Q: ∀x>0, ∀p∈ℤ, ln(x^p) = [...]
A: p ln(x)

Q: ∀x>0, ln(√x) = [...]
A: ½ ln(x)

Q: La fonction ln est [...] sur [...] et ∀x>0, ln'(x) = [...]
A: dérivable; ]0 ; +∞[; 1/x

Q: La fonction ln est strictement [...] sur ]0 ; +∞[.
A: croissante

Q: Si a et b sont deux réels strictement positifs, alors [...] ≡ [...].
A: ln(a) = ln(b); a = b

Q: Si a et b sont deux réels strictement positifs, alors [...] ≡ [...].
A: ln(a) ≤ ln(b); 0 < a ≤ b

Q: [...] ≡ [...]
A: ln(a) ≤ 0; a ∈ ]0 ; 1]

Q: [...] ≡ [...]
A: ln(a) ≥ 0; a ∈ [1 ; +∞[

Q: ln(u(x))' =
[...]
[...]
A: u'(x); u(x)

Q: lim ln(x) = [...]
A: +∞

Q: lim
ln(x)
x
= [...]
A: 0

Q: lim
ln(x)
x^n
= [...] où n∈ℕ
A: 0

Q: limx → 0
> x ln(x) = [...]
A: 0

Q: limx → 0
> x^n ln(x) = [...] où n∈ℕ
A: 0

résolvons -3(ln(x))^2 + 24ln(x) + 252 = 0 ≡ -3X^2 + 24X + 252 = 0 en posant X = ln(x), x > 0
X_1 = 14 et X_2 = -6
résolvons alors à présent
X = 14 ≡ ln(x) = 14 ≡ x = e^14
X = -6 ≡ ln(x) = -6 ≡ x = e^-6
conclusion : S = {e^-6 ; e^14}